C12,5= è il numero di modi diversi di sistemare 5 delle dodici persone nella macchina da 5 posti, ovvero il numero di diversi sottinsiemi di 5 persone scelte tra 12. Per ognuno di questi modi vi sono C7,4= modi diversi di sistemare 4 delle sette persone rimanenti nella macchina da 4 posti, ovvero il numero di diversi sottinsiemi di 4 persone scelte tra le 7 restanti, infine un solo modo di sistemare le tre persone rimenenti nella macchina da tre posti. In totale ·= modi diversi. Se però intendiamo considerare anche in che modo potrebbero occupare le tre diverse macchine, nell'ipotesi che tutte e tre possano accogliere gruppi diversamente numerosi, occorre moltiplicare il precedente risultato per il numero 3! di permutazioni delle tre macchine.
C12,5= è il numero di diversi sottinsiemi di 5 delle dodici persone da sistemare in una macchina da 5 posti, C7,5= è il numero di diversi sottinsiemi di 5 delle sette persone rimanenti da sistemare nell'altra macchina da 5 posti, infine un solo modo di sistemare le due persone rimenenti. In totale, se non diamo importanza all'ordine in cui sono occupate le due macchine da 5 posti, ·/2!= modi diversi. Se però sono distinguibili la prima dalla seconda macchina da 5 posti, i modi diversi sono ·= Se però intendiamo considerare anche in che modo potrebbero occupare le tre diverse macchine, nell'ipotesi che tutte e tre possano accogliere i diversi numeri di gruppi, occorre moltiplicare il precedente risultato per il numero di permutazioni 3! delle tre macchine.
C12,4= è il numero di diversi sottinsiemi di 4 delle dodici persone da sistemare in una macchina, C8,4= è il numero di diversi sottinsiemi di 4 delle otto persone rimanenti da sistemare in un'altra macchina, infine un solo modo di sistemare le quattro persone rimenenti nell'ultima macchina. In totale, non interessando in quale macchina saranno sistemati, vi sono ·/3!= modi diversi. Se però le tre macchine sono distinguibili e vogliamo tenere conto anche dell'ordine in cui vengono sistemati gli occupanti, i modi diversi sono ·=
1° modo: Sistemiamo innanzitutto le due persone: una in un auto e l'altra in un'altra auto. Restano da occupare con le 10 rimanenti persone un'auto con quattro posti e due auto con tre posti, queste due distinguibili da chi già le occupa. C10,4·C6,3=·= è dunque il numero di modi diversi di sistemare le dieci persone nelle tre macchine. 2° modo: Sistemiamo innanzitutto le 10 persone: quattro in un auto, tre in un'altra, tre nell'ultima. Vi sono C10,4·C6,3/2!=·/2!= modi. In totale, poiché ora le due persone possono essere sistemate in due modi diversi nelle auto già occupate da tre persone, vi sono ·2= modi diversi. 3° modo: Consideriamo il numero di possibili distribuzioni in insiemi di quattro: ·/3!=. Sottraiamo a questi il numero di possibili distribuzioni in insiemi di quattro nelle quali 1a e 2a persona finiscono insieme, ovvero dieci persone vanno in due sottinsiemi da 4 e uno da 2 al quale si aggiungono 1a e 2a insieme: ·/2!= In totale: – =